Túlkun á mælitölum

Almennt um túlkun mælitalna

Túlkun mælitölu byggist á því að vita hvaða eiginleika hún er að meta og geta komið honum í orð. Þetta er í aðalatriðum það sem felst í tölfræðilegri túlkun á niðurstöðum mælitalna. Auk þessa er mikilvægt að vita hvað niðurstaðan þýðir í reynd, þ.e. hvaða vitneskju hún veitir um þau fyrirbæri sem eru metin. Þessi efnislega túlkun er yfirleitt mun einfaldari en sú tölfræðilega en jafnmikilvæg hinni.

Tölfræðileg túlkun

Í aðalatriðum meta mælitölur þrenns konar eiginleika: Tilvist, áhrif og styrkleika tengsla. Fullnægjandi túlkun þarf að taka til allra þriggja atriða. Mælitölur eru hins vegar ólíkar að þessu leyti, sumar meta tilvist tengsla, sumar áhrif og enn aðrar styrkleika.

Tilvist tengsla koma til álita í ályktunartölfræði þar sem reynt er að álykta um tengsl í einhverjum skilgreindum hópi (þýði) á grunni upplýsinga í hluta þess hóps (úrtaki). Ef ætlunin er eingöngu að lýsa þeim gögnum sem eru til athugunar, þarf auðvitað ekki að íhuga hvort tengslin séu til staðar eða ekki. Þau tengsl sem koma fram eru raunveruleg í því gagnasafni sem unnið er með, jafnvel þó þau séu ekki lýsandi fyrir þýðið.

Tilvist tengsla eru metin með marktekt en það er hugtak sem er til umfjöllunar í öðrum og þriðja þriðjungi námskeiðsins.

Áhrif gefa til kynna hvernig breytingar á frumbreytu skila sér til fylgibreytu. Hallatala (aðfallstuðull; regression coefficient) er dæmi um mælitölu sem metur áhrif. Ef hallatalan er t.d. 1,7, felst í því að fylgibreytan muni að jafnaði hækka um 1,7 stig við það að frumbreytan hækkar um 1 stig og lækka um 1,7 stig ef frumbreytan lækkar um 1 stig.

Margar mælitölur meta áhrif. Hallatala metur áhrif eins og fyrr greinir. Auk þess gefur Pearson fylgnistuðull upp stöðluð áhrif og raðfylgni Spearmans gefur áhrif metin sem breytingar á sætum í röð.

Áhrif geta verið jöfn yfir allt talnasvið frumbreytunnar. Dæmi um þetta eru hallastuðull og Pearson fylgnistuðull. Slík jöfn áhrif samsvara því að beinlínutengsl séu á milli frum- og fylgibreytunnar. Raðfylgni Spearmans gefur einnig til kynna jöfn áhrif óháð tölugildi frumbreytunnar. Þar eru áhrif hins vegar metin sem breyting á sæti í röð mæligilda; þar sem breyting um sæti getur staðið fyrir mismikið magn, geta hin raunverulegu áhrif verið mismikil.

Styrkleiki tengsla segir til um hversu vel er hægt að spá fyrir um fylgibreytuna á grundvelli frumbreytunnar. Ef tengsl eru veik, er mikil óvissa um gildi fylgibreytuna jafnvel þótt gildi frumbreytunnar sé þekkt. Sterk tengsl leiða gera hins vegar mögulegt að spá tiltölulega nákvæmlega fyrir um fylgibreytuna.

Styrkleiki er gjarnan metinn hlutfallslega, þ.e. hversu mikið sé hægt að minnka óvissuna um gildi fylgibreytunnar með því að hafa upplýsingar um frumbreytuna. Einfalt dæmi getur útskýrt þetta.

Ef ég á að spá fyrir um líkamshæð einstaklings (fylgibreytan) án þess að vita aldur hans (frumbreyta), væri besta spá sennilega um það bil 110 cm. Óvissan væri þó afar mikil því líkamshæð verður minnst um 45 cm (nýfætt barn) og mest um 210 cm (afar hávaxinn fullorðinn maður). Þessa óvissu mætti t.d. meta með því að reikna staðalfrávik líkamshæðar án þess að taka tillit til aldurs.

Ef ég fengi upplýsingar um aldur viðkomandi, myndi spáin batna verulega. Ég gæti t.d. sagt að fullorðinn maður væri 175 cm hár, spáð 50 cm hæð fyrir nýfædda, 110 cm fyrir 6 ára, o.s.frv. Bersýnilega myndi óvissan minnka stórkostlega við það að fá þessar aldursupplýsingar. Það mætti t.d. sjá með því að reikna staðalfrávikið í kringum þessar nýju spátölur.

Í þessu dæmi má koma við einföldum mælikvarða á styrkleika tengslanna milli aldurs og líkamshæðar. Ef við reiknum hlutfallið milli staðalfráviks líkamshæðar þegar spátölur eru ólíkar eftir aldri og staðalfráviksins þegar hæðin er áætluð 110 cm óháð aldri, fáum við mælitölu sem nefnist eta. Ef eta er sett í annað veldi, gefur það til kynna hversu mikið dreifitalan hefur minnkað hlutfallslega, þ.e. skýrða dreifingu.

Minnkaða óvissu má meta á ýmsa vegu. Pearson fylgnistuðull metur hlutfallslega minnkun dreifingar (dreifni) í kringum spágildi, ef hann er settur í annað veldi. Mælitalan tá metur hve hlutfallslega oft einstaklingar sem eru ólíkir á frumbreytunni eru einnig ólíkir á fylgibreytunni. Lambda metur hversu miklu oftar við spáum réttum flokki á fylgibreytunni þegar við höfum upplýsingar um frumbreytuna heldur en þegar við höfum þær ekki. Þessir mælikvarðar eru ólíkir, henta misvel eftir aðstæðum og eiginleikum gagnanna. Það sem er þeim öllum sameiginlegt er það að þeir gefa hver á sinn hátt til kynna hversu mjög spá um fylgibreytuna batnar við það að fá upplýsingar um frumbreytuna.

Efnisleg túlkun

Efnisleg túlkun felur í sér að lýsa niðurstöðum á skýru og hversdagslegu máli. Tölfræðilega niðurstaðan getur verið mjög tæknileg lýsing á fyrirbærum sem hægt er að lýsa á tiltölulega einföldu máli. Setjum sem svo aldur hafi mikil áhrif á líkamshæð eða að kyn skýri umtalsverðan hluta af dreifingu líkamshæðar. Þessi sama hugsun væri sett fram í hversdagslegu máli með því að upplýsa að börn stækki og að karlar séu að jafnaði hærri en konur.

Efnislega túlkunin er mikilvæg bæði til að tryggja skýrleika í túlkuninni en einnig til að tryggt sé að viðkomandi viti hvað niðurstöðurnar þýða. Það er nauðsynlegt að túlka niðurstöður tölfræðilega svo ljóst sé nákvæmlega að hverju hafi verið komist. En það getur ekki komið í stað þess að gefa skýrt til kynna í hverju niðurstöðurnar felast. Hið síðarnefnda er gert með efnislegu túlkuninni.

Í ofangreindu dæmi fælist efnisleg túlkun í þeirri einföldu staðhæfingu að líkamshæð aukist með auknum aldri fram að fullorðinsaldri en standi í stað eftir það.

Stundum gleymist efnislega túlkunin og viðkomandi tapast í tölfræðilegum flækjum. Slíkt einfaldar ekki hugsunina né skerpir skilninginn en getur verið nauðsynlegt skref í átt að einfaldleika skýrrar efnislegrar túlkunar.

Túlkun einstakra mælitalna

Áhrif, styrkleiki tengsla og efnisleg túlkun tekur ólíkt form eftir því hver mælitalan er. Hér verður gerð stuttaraleg grein fyrir nokkrum mælitölum og greint frá helstu möguleikum í túlkun þeirra.

Pearson fylgnistuðull

Pearson r byggist á líkani þar sem gert er ráð fyrir því að bein lína lýsi sambandi tveggja megindlegra breyta.

Mælitalan gefur stöðluð áhrif, þ.e. um hve mörg staðalfrávik fylgibreytan hækkar (eða lækkar) við það að frumbreytan hækkar um eitt staðalfrávik. Ef Pearson fylgni er sett í annað veldi, gefur hún upplýsingar um það hve mikið frumbreytan skýrir hlutfallslega af dreifingu fylgibreytunnar.

Skýring felur hér í sér að spá fyrir fylgibreytuna á grunni frumbreytunnar þannig að spágildin falli öll á beina línu. Frávikin frá spágildunum er sá hluti af dreifingu fylgibreytunnar sem ekki tekst að skýra en dreifing spágildanna samsvarar skýrðu dreifingunni.

Spearman raðfylgni

Raðfylgni Spearmans er túlkuð á sama hátt og Pearson fylgnistuðull, þ.e. sem stöðluð áhrif og hlutfallsleg skýrð dreifing. Hér verður þó að gæta þess að frumbreytan er að skýra dreifingu raðtalna. Því er eðlilegt að tala um að skýrð séu svo og svo stórt hlutfall af dreifingu raðar eða raðtalna.

Þar sem unnið er með raðtölur gefur raðfylgni kost á viðbótartúlkun á áhrifum frumbreytunnar. Mælitalan gefur ekki aðeins upp stöðluð áhrif, heldur má einnig túlka hana beint sem áhrif þess á fylgibreytuna að frumbreytan breytist um eitt sæti. Því má segja að ef frumbreytan breytist um eitt sæti muni fylgibreytan að jafnaði hækka (eða lækka) um r_s sæti.

Fí

Fí má túlka nákvæmlega eins og Pearson r, þ.e. sem stöðluð áhrif á skýrða dreifingu.

Hér þarf þó að gæta þess að erfitt er að ljá áhrifum merkingu. Fí er notað fyrir tvær tvíkostabreytur. Slík frumbreyta getur eðlilega ekki hækkað um eitt staðalfrávik og sömuleiðis getur fylgibreytan ekki hækkað um φ (fí) staðalfrávik. Hvor breyta um sig getur aðeins breyst úr öðru gildi sínu yfir í hitt en ekki um svo og svo mörg staðalfrávik. Því er túlkun mælitölunnar fí á grundvelli staðlaðra áhrifa hæpin eða að minnsta kosti vandræðaleg.

Ólíkt Pearson fylgni, þá hefur merki (±) mælitölunnar ekki alltaf merkingu. Ef báðar tvíkostabreyturnar eru sannarlega megindlegar, má túlka sambandið sem jákvætt eða neikvætt. Í slíku tilfelli þarf þó að skoða töfluna vel til að sannfæra sig um það hvort um jákvætt eða neikvætt samband er að ræða. Ef hins vegar önnur hvort breytan er eigindleg, verður sambandið ekki túlkað sem jákvætt eða neikvætt.

Gamma og tá

[Hér kemur einhvern tíma meira efni. ]

Lambda

[Hér kemur einhvern tíma meira efni. ]

2002-03-19a GBA